はじめに
みなさんこんにちは！いと（＠StudyRoad）です。
今回は典型問題解説で、「絶対値つきの方程式・不等式」の問題の解き方をできるだけ簡単に、わかりやすく解説したいと思います。
絶対値の特徴
多くの人は知っていると思いますが、数直線で見ると絶対値というのは、その数の０からの距離のことを指します。
この数直線から
｜２｜＝２
この数直線から
｜−2｜＝２
こんな感じで｜２｜＝｜−2｜であるのは理解できると思います。
他にも、｜３｜＝３
｜−3｜＝３
｜5｜＝５
｜−5｜＝５
｜０｜＝０
などと考えていくと、絶対値記号の中の数字が負であるのか、そうでないのか、によって、絶対値をそのまま外せるのか、−1をかける必要があるのかが変わっていくことがわかると思います。
これは、後に説明する場合分けの本質ですので覚えておいてくださいね！
ここまでは、主に絶対値記号の中が整数の時を考えてきたので簡単だったと思います。
しかし、問題なのは絶対値記号の中身が文字（xとかaとか）になった時です。
いよいよ、場合分けが必要になるためですね。
では、実際に不等式の時に出てくる共通範囲と合わせて解説していきます！
問題の解き方
絶対値付きの問題に関しては、方程式（｜x–１｜＋｜x−2｜＝x など）では場合分け、不等式（｜xー4｜＜３x など）では場合分けに加えて、共通範囲の考え方が大切なので、この二つを解説していきます！
場合分け
では、はじめに場合分けについて解説していきます。苦手な人が多いと思いますのでゆっくり読んでくださいね！
なんで場合分けをするのか？
絶対値のある問題に関しては、我々はまず絶対値を外すことを考えます。
先述した通り絶対値を外す時には、絶対値の中が負であるか、そうでないかが重要でした。
絶対値の中が文字である時には、文字の値によって絶対値の中の符号が変化してしまいます。
だから場合分けをしなければならないのです。
例を挙げてまとめると、
では実際に、｜x–１｜＋｜x−2｜＝xを例として使い、場合分けをしていきます。
まず｜x−1｜に注目すると、絶対値の中のx−1の符号の変化はx＝１を境に起こるのがわかると思います。数直線で見ると、
こうですね。
同様に｜x−2｜に関しても、
しかし、このままではバラバラですね。まとめるために数直線を並べてみます。
共通範囲
｜xー4｜＜３xを例にして考えていきます。
まずは先述した考え方で場合分けをすると、
⑴x≧４,⑵x＜４と場合分けできることがわかると思います。
実際に解いていくと
⑴x≧４のとき
x−4＜３x
x＞−２
と、解が出てきました。
ここで、共通範囲の考え方を使う必要があります。
まず、今計算したのははじめに書いてあるとおり、x≧４のときです。言い換えれば、xが４以上というのを前提とした計算であり、x≧４の領域しか見ていないわけです。
ですので、解はx＞−２と出ましたが、前提との共通範囲を考えれば⑴の適当な解は、x≧４になります。
何度も言いますが、⑴ではx≧４の範囲しか考えないため、−２＜x＜４の範囲は無視して良いのです。
⑵についても同様に
⑵x＜４のときx−4＜０であるから
–（x−4）＜３x
x＞１
共通範囲を考えると、１＜x＜４になる。さっきと一緒で数直線にすると、
⑴,⑵より、求める解は、x≧４と、１＜x＜４を合わせて、
x＞１
応用編
x≧３との共通範囲を考えて、３≦x≦６
–４/３≦x≦６
最後に
ということで、今回高校１年生がつまずきやすい、絶対値付きの方程式と不等式に焦点を当てて解説してきました。
参考になれば幸いです。最後までご覧いただきありがとうございました！
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