[数学]群数列の問題を簡単に解く方法を教えます。[典型問題解説]

はじめに

みなさんこんにちは!

今回はタイトルにある通り「群数列」を扱う問題を解説していきたいと思います!

私の現役時代や塾講師と家庭教師の経験から、この群数列を苦手に感じている高校生は非常に多いように感じます。

今回は、「なぜ難しく感じるのか」の私なりの考えを書いてから、実際に問題を解説していきたいと思います!ぜひ最後までご覧ください!

なんで群数列が難しく感じるのか?

多分、この答えは「問題によって全く別物に見えてしまっているから」だと思います。

群数列とは、ある規則によって数列が群に分けられている数列のことです。

しかし、その規則は問題によって大きく異なるのはみなさんも知っている通りです。

例えば、今回解説する問題の群数列は、

1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|・・・

という奇数の数列で第1群には1個の数、第2群には2個の数、が続いていく群数列ですが、他にも群数列はたくさんあります。例えば、

1|2,3|3,4,5|4,5,6,7|5,・・・とか、1/1 | 2/2,3/2 | 4/3,5/3,6/3 |7/4,・・・など規則があって群に分けられていればなんでも群数列です。

この種類の多さが高校生を悩ませているのです。種類が多いとその分解き方のパターンも増えてしまうように感じてしまうからですね。

しかし、群数列の問題の解き方は実は1通りなのです。

今回はその解き方を問題解説の中で紹介していきたいと思います。

今回解説する問題

今回解説していく問題はこちらです!

奇数の数列を1|3,5|1,9,11|13,15,17,19|21,・・・・・のように、第n群がn個の数を含むように分けるとき

⑴第n群の最初に奇数を求めよ。

⑵第n群の総和を求めよ。

⑶301は第何群の何番目に並ぶ数か。

典型的な群数列の問題で、丁寧な誘導がついています。

しかし、この問題さえ理解できれば、群数列の問題に怯えることはなくなると思います。

その理由も解説で説明します。

解答解説

では実際に解説していきましょう!

⑴第n群の最初に奇数を求めよ。

早速⑴から解説していきます!

群数列の問題は初手、初動が大切です。まずはじめにすべきことは

Point1:規則を見つける

当たり前ですが、これが1番はじめにするべきことです。

しかし、今回の問題では問題文中に”第n群がn個の数を含むように分けるとき”と書いてあるのでこの段階はほとんど必要ないですね。

では、この数列の規則がわかるでしょうか?

1|2,3|3,4,5|4,5,6,7|5,・・・

多くの人はわかると思いますが、わからなかった人はまだ群数列の問題への慣れが少ないと言えるので、教科書の問題から復習してみましょう!

一応答えとしては、「第n群の初項はnで、n群の項数がn個であるような群数列」ですね。

このPoint1に関しては実行できている人が多いと思いますが、その次の動きができない人が多いです。

しかし、実はこの⑴は次の動きを誘導してくれています。

その次にすべきこととは、

Point2:まず第n群の初項が第何項なのかを考える!

私は受験生の頃と塾講師、家庭教師として働く今まで、数十問の群数列の問題を解いてきました。

その結果、例外なくこのステップを取るべきということがわかりました。

今回の問題では誘導によって自然にこのステップを取ることになると思いますが、難関大ではこのような丁寧な誘導はつかないことが多いです。

しかし、群数列の問題なら、どんな問題でもはじめにするべきことは、”第n群の初項が第何項なのかを考えること”です!絶対に覚えておいてください!

群数列は規則正しいですが、考慮することが非常に多い問題です。(”項数”、”総和”、”各群の項数”、”各群の総和”など)

だからこそ、このステップを無視して他の方法で解こうとすると頭がごちゃごちゃになってしまいます。

では実際に解いていくと、

まずn≧2の時、第1群から第(n−1)群までの項数を求めることで、第一の目標である第n群の初項が第何項なのかを求めます。

第1群から第(n−1)群までの項数は、

1+2+3+ ・・・+(n−1)=1/2(n−1)n

よって、第n項の初項は第{1/2(n−1)n+1項であるということがわかった。

今回の数列では第k項の数は(2k−1)であるから、このkに{1/2(n−1)n+1 }を代入して、

求める第n群の最初の奇数は、2{1/2(n−1)n+1}=n2−n+1

⑵第n群の総和を求めよ。

この問題は⑴で求めた第n群の最初の奇数であるn2−n+1を使えば簡単です。

問題文から第n群の項数はn個であることと、数列は2ずつ増えていくことがわかっています。

よって第n群内の数列は、初項n2−n+1、等差2、項数nの数列であるので、求める第n群の総和は、

1/2n{2(n2−n+1)+(n−1)・2}=n3

⑶301は第何群の何番目に並ぶ数か。

ここでも⑴で求めた、第n群の最初の奇数がn2−n+1であるということを利用します。

第(n+1)群の初項はn2−n+1のnが(n+1)になるだけと考えれば、(n+1)2−(n+1)+1ですね。

ということは301が第n群に含まれると仮定すると以下の不等式が成り立つことになります。

n2−n+1≦301<(n+1)2−(n+1)+1

これを満たすnは計算をすると17とわかります。

そして、301が第17群のm番目とすると、

301=(172−17+1)+(m−1)・2

が成り立つので、この方程式を解いてm=15

よって、301は第17群の15番目に並ぶ数であると言えます。

「はじめに群を求めてから何番目からを考える」というのがこの手の問題では定石になります。慣れてしまえばやっていることは非常に簡単なことです。

最後に

どうでしたでしょうか。

結局⑴さえできてしまえば良いということがわかっていただけたかなと思います。

このように、典型問題の多くは少ないポイントさえ押さえてしまえば、あとは流れに乗るだけの問題がほとんどです。これからもそのような問題を解説していきます!

では、最後までご覧いただきありがとうございました!